Triangles et poils rouges: les maths de la 3D

Le « maillage » 3D de l’image ci-dessous, représentant un cheval, est très connu des chercheurs en informatique graphique et surtout de ceux qui manipulent les objets 3D. Les chercheurs l’utilisent principalement comme un objet test pour illustrer leurs résultats.

Plusieurs applications sont concernées par ces tests: la compression ou la simplification – qui permettent de manipuler aisément de grands volumes de données à partir de n’importe quel dispositif de visualisation comme un téléphone portable ou une tablette ; l’animation – pour faire galoper le cheval par exemple ; l’édition – pour lui ajouter des ailes ou une selle ; la déformation – pour le rendre plus dodu ; ou encore le tatouage – pour le protéger en y insérant une marque invisible à l’oeil nu qu’on pourrait apparenter à un copyright. Ce maillage particulier est un « maillage surfacique triangulaire » (les surfaces sont modélisées par des triangles). Au milieu et à droite de l’image, il y a deux versions simplifiées du maillage de gauche. Chacune de ces deux versions simplifiées présente des « poils » rouges – des vecteurs – associés au milieu de chaque arête du maillage. On observe plus de « poils » longs sur le maillage le plus grossier (à droite), c’est-à-dire celui qui a le moins de triangles parmi les trois chevaux. De plus, pour un même maillage, les « poils » sont plus longs aux endroits saillants, qui sont des endroits remarquables comme la pointe des oreilles ou le bout du museau: ces zones retiennent davantage l’attention par rapport aux autres parties de l’objet.

Mais que représentent ces poils rouges et à quoi peuvent-ils bien servir ?

Le traitement qui permet d’obtenir ces deux versions simplifiées du cheval en 3D agrémenté de ses « poils » s’appelle la « transformée en ondelettes ». Ce type de transformation mathématique dérive de l’analyse de Fourier. Elle a été rendue populaire par son incroyable capacité à compresser les images numériques et a ensuite été adaptée pour les maillages surfaciquescomme notre cheval. Mais, en plus de fournir un code binaire très compact, elle donne également la possibilité de reconstruire, après décompression, le maillage de façon progressive.

L’intérêt de la « progressivité » réside dans le fait de pouvoir s’adapter à la rapidité avec laquelle ces données compressées transitent sur les réseaux ou également au type d’appareil (ordinateur, smartphone…) utilisé pour visualiser le résultat de la décompression: notre cheval. Par exemple, si ce dernier apparaît en arrière-plan d’une scène 3D que l’on souhaite visualiser rapidement sur un petit écran, un aperçu très grossier du maillage (comme celui de droite sur l’image) pourra largement suffire, étant donné que notre oeil se contentera de cette forme globale. Mais si la bande passante et le processeur permettent une décompression rapide de l’ensemble des données, on pourra alors ajouter à notre aperçu grossier l’information portée par les poils (qu’on appelle coefficients d’ondelettes), de manière à obtenir quatre fois plus de triangles après chaque étape de raffinement.

Au fur et à mesure de la simplification des maillages, la longueur des « poils » augmente: c’est une propriété bien connue de la transformée en ondelettes. Elle est d’ailleurs exploitée lors de la phase de codage, par les meilleurs algorithmes de compression de maillages.

Enfin, le fait que les « poils » soient presque inexistants là où le maillage est plutôt lisse découle directement des fonctions utilisées au cours de l’analyse en ondelettes, qui sont dérivables. Des recherches sont en cours pour adapter cette décomposition de façon à mieux représenter les propriétés des surfaces.

Actuellement dans le cadre du projet ANR Fraclettes(qui a démarré en mars 2021), nous nous intéressons à l’analyse des surfaces dans le but de les synthétiser pour contrôler le degré de rugosité. Notre objectif est de proposer des moyens pour exploiter la rugosité comme un véritable élément de conception, au même titre que la forme globale ou les matériaux.

La rugosité pourrait ainsi être contrôlée pour optimiser l’adhérence entre deux surfaces (la route et les pneus par exemple). Ceci doit passer par une meilleure compréhension des corrélations entre la topographie des surfaces et leurs fonctions d’usage (l’adhérence par exemple, mais aussi la friction, l’usure, la fatigue ou encore l’abrasion). Nous nous plaçons en amont de cette compréhension, en proposant des moyens de contrôle de la rugosité. Libre ensuite à chaque domaine d’utilisation d’en comprendre les corrélations, en lien avec l’usage escompté.